進制 簡介 一文中，簡單的介紹了 進制 的概念，
進制的轉換、負數與運算，
讓我們能使用熟悉的 十進制 (Decimal) 或 十六進制 (Hex)…，
而不用背長串的 『10010100001111…』，
更有利於我們了解計算機組織、組合語言…，並增進程式效率 😆。
 

有號數字 及 無號數字
(Signed and Unsigned Numbers)

 
在數學領域中，整數 (Integer) 包含了:

 
 
正整數 與 0，可直接透過 進制轉換，轉為計算機使用的 二進制。
也就稱為 『無號』數字 (Unsigned Numbers) 啦 !
(因沒有 『+』與『-』符號)
 
例如:
C 語言中，就有以下 Unsigned Integer Types:

_Bool (since C99), unsigned char, unsigned short, 
unsigned int, unsigned long, unsigned long long (since C99)

 
資料庫也常見到如下欄位屬性:

• UNSIGNED
• UNSIGNED ZEROFILL

 
在計算計組織中，無號數字 最常用於表示 記憶體位址 [註1] 😉
 
 
然而，負數呢?
 
 
想表示一負數，我們只要加個 『 – 』即可 (ex: -1)，
但是:

計算機硬體，使用的是 『 0 』與『 1 』的二進制，
無法理解 負『 – 』的符號

 
我們必須找到一種方式，表達數的正 (+) 與 負(-)，
也就是 『有號』數字 (Signed Numbers) 表示法 !
 
[註1]:
為何記憶體位址不應為負? 可參考 陣列 (Array) 簡介
 

有號數字 表示法
(Signed Number Representations)

常見的 有號數字 表示法 (Signed Number Representations) 有四種:

• 符號大小 (Sign and Magnitude)
• 1 的補數 (Ones’ Complement)
• 2 的補數 (Two’s Complement)
• 偏移表示法 (Biased Notation)

前三者，大於等於 0 的 正數，與一般二進制沒有不同，
區別在於 『負數』 的表示 !

 
與其說是不同方法，它們之間更像是延伸關係。
 
在逐一介紹他們前，
得先知道 『一般二進制』 與 『計算機二進制』的差異 !
 
就像十進制中，0000000….0087 = 87，
真實的數 是可擁有無限多個位數 (digit) 的。
(當然，一般會省略多餘的 0)
 
但是:

計算機存取的字組大小是固定的

 
意味著:

1. 「數」的 存取範圍 有限。
2. 「數」的放置 必須遵守某種格式 (format)。
3. 與一般二進制的轉換，可能沒意義
   (ex: 1111 可能代表的是 -1，而非 15)
4. 兩數的運算結果，有可能超出範圍，而發生 滿溢 (overflow)。

 
這也是為何，我們在書寫時，可能會這樣寫:

87₁₀ =  1010111₂

 
也可能

87₁₀ =  0000  0000  0101  0111₂

符號大小 (Sign and Magnitude)

符號大小 (Sign and Magnitude)，又稱 原碼，是其中最淺顯易懂的，也就是:

用一個位元 (bit) 來表示 正(+)、負(-)

 
(例: 『0』代表正數、『1』代表負數)
這樣的位元，稱之為 符號位元 (sign bit)，
且通常為 最高有效位元。
 
由前面觀點已知，計算機字組是使用 『固定大小』，
假設以 8位元 表示一數，
除去『符號位元』後，用於表示數值的部分剩下 7位元:

 
 
同理，使用 n位元 表示一整數，
除去『符號位元』後，用於表示數值的部分剩下 n-1 位元。

正數表達範圍: 『 + 0  ~  + 2 ^n-1 – 1 』 ，負數表達範圍: 『 – 0  ~  – 2 ^n-1 – 1 』

 
值得注意的是:

符號大小 (Sign and Magnitude) 表示法的 +0、-0 是不一樣低!

 
且當執行加法運算時，無法預知結果的正負，
加法器可能需要額外的步驟來設定符號。
 
雖然這些因素，使得 符號大小 (Sign and Magnitude) 不宜表示 整數 與 實作加法器，
卻適合用於 浮點數的表示，將於未來提及。
 

1 的補數 (Ones’ Complement)

1 的補數 (Ones’ Complement)，又稱 反碼 ，欲計算負值:

藉由 反轉/反向 ( inverse ) 每一個位元，
原本是 『 1 』 就變 『 0 』，『 0 』就變 『 1 』

 
或

2ⁿ  –  x  –  1
(n 為位元數，x 為欲轉換正數)

 
例如 (4位元 1 的補數):
『 3 』，表示為: 0011;
『 -3 』，就是 『 3 』的反向，表示為: 1100。
 
正數的最大值為: 0111 1111 1111 … 1111，
負數的最大值為: 1000 0000 0000 … 0000。

正數表達範圍: 『 + 0  ~  + 2 ^n-1 – 1 』 ，負數表達範圍: 『 – 0  ~  – 2 ^n-1 – 1 』

0 依然有兩種表示法 +0、-0。

1 的補數和 (Ones’ Complement Sum)

使用 1 的補數加法之和，即稱 — — 1 的補數和。
減法 可以透過加一個『負數』來完成。
 
例如:
3 – 2 運算，可以透過 3 + (-2) 來完成。
 
『 3 』 表示為: 0011，
『 + 』為 1 的補數加法 (常表示為: {+1s}、+’)，
『 -2 』表示為: 1101。
(4 位元)
 

 
如果有『爆掉』的位數，要再將它加回，稱為 — — 端回進位 (end around carry)，
也就是將任何溢出的最高有效位元，加回最低有效位元。
這是 1 的補數的重要性質!
 

這樣的性質，讓 1 的補數 (Ones’ Complement)，
做到 位元組順序獨立 (Byte Order Independence)，
也就是 重新排序的輸出 等價於 重新排序的輸入。

 
例如:
計算 位元組 A, B, C, D, … , Y, Z. 的 1 的補數和，
大頭端: [A,B] +’ [C,D] +’ … +’ [Y,Z]
小頭端: [B,A] +’ [D,C] +’ … +’ [Z,Y]
計算出來的結果，經 swap 後將會相同!
 
由於 位元組順序獨立 的特性，使多位元組的加法，
能以相同的形式，進行跨位元組的進位，
而不用管主機位元組順序。
 
1 的補數 (Ones’ Complement) ，
廣泛應用於 網路通訊協定的檢驗和 (Checksum) 計算，
甚至常作為 反向運算 的代名詞。
 
事實上:

有號數表示、加法器實作…，仍是以 2 的補數為主，
1 的補數，僅作為一種『通用的』計算機制。

2 的補數 (Two’s Complement)

然而， 1 的補數 仍具有兩個 0 (+0、-0)，
加法器在做減法時，常需要一個額外的步驟，做端回進位。
 
2 的補數 (Two’s Complement) 即可避免以上問題，
因此不管是程式語言 的 整數表示、加法器的實作… 幾乎皆採用 2 的補數 表示法。
 
2 的補數，或稱 補碼:

同 符號大小、1 的補數，
大於等於 0 的 正數，與一般二進制沒有不同，
區別在於 『負數』 的表示 !

 
而 2 的補數之『負數』，
其實就是 1 的補數 + 1，
或

2ⁿ  –  x
(n 為位元數，x 為欲轉換正數)

 
例如:
『 3 』，表示為: 0011;
『 -3 』的 1 的補數 表示為: 1100，
則『 -3 』的 2 的補數 即為: 1101。
 
正數的最大值為: 0111 1111 1111 … 1111，
負數的最大值為: 1000 0000 0000 … 0000。

正數表達範圍: 『 0  ~  + 2 ^n-1 – 1 』 ，負數表達範圍: 『 – 1  ~  – 2 ^n-1 』，
有一個沒有對應正值的負數  – 2 ^n-1。

0 只有一種表示法 0000 0000 … 0000，
具有所有負數最高有效位元皆為 1 的優勢。

 
減法 一樣可透過 加 一個『負數』來完成。
 
例如:
3 – 2 運算，可以透過 3 + (-2) 來完成。
 
『 3 』 表示為: 0011，
『 + 』為 2 的補數加法 (常表示為: {+2s})，
『 -2 』表示為: 1110。
(4 位元)
 

 
如果有『爆掉』的位數，不需 做 端回進位 (end around carry)。
 

偏移表示法 (Biased Notation)

儘管 2 的補數表示法，做為有號數表示、加法器實作…有絕對優勢，
其負數在真實二進位中，像是一個很大的正數，排序上並不直覺。
例:

2's 補數: 1000 = 負數 -8

一般二進位: 1000 = 正數 8

 
偏移表示法 (Biased Notation)，又稱 移碼 excess-N，
即是透過將原數的 2 的補數，
再加上一個 偏移值 而得。
 
例如:
二進位浮點數算術標準 (IEEE 754) 中，
單精度浮點數的偏移值為 127。
 
『 -1 』的 2’s 補數: 1111 1111₂，
而 偏移值 127 之偏移表示法: -1 + 127 = 126 = 0111 1110₂。
 
『 1 』的 2’s 補數: 0000 0001₂，
而 偏移值 127 之偏移表示法: 1 + 127 = 128 = 1000 0000₂。
 
偏移表示法，廣泛的應用於 浮點數表示法 的 指數欄位。
 

總結

好的設計需要有好的折衷 ( Good design demands good compromises )

 
這幾種方法，沒有孰優孰劣，只有適不適合 !
 
如:
浮點數表示法標準 — — 符號大小、偏移表示法，
網路通訊協定的檢驗和 — — 1 的補數，
程式語言 的 整數、加法器的實作 — — 2 的補數，
各自運用於不同領域。
 
學習 有號數字 表示法，有助於理解許多計算機、通訊協定的知識 😁